本文為 Why I didn't sign the Fields medallists' letter | Gowers's Weblog 之繁體中文翻譯整理，原文版權歸原作者所有。
本文亦同步刊登於陶哲軒的部落格。
作者簡介｜提摩西・高爾斯（Sir Timothy Gowers）
我大約 11 歲時，第一次聽說費馬最後定理。它的問題陳述與背後故事立刻深深吸引了我，我還相當認真嘗試證明它。毫不意外地，我失敗了，但在嘗試過程中學到很多。
我完全不知道 n=3 的情況早在兩百多年前就已由歐拉證明，因此決定先從這裡開始；我樂觀地以為，只要先處理好這個特例，就能挑戰一般情況。可是我仍不知道該從哪裡下手，於是進一步簡化問題，專注研究相鄰立方數的差，想證明這種差不可能也是立方數。
當時我還不懂得用代數語言表達，所以並沒有明確地試圖證明丟番圖方程
沒有解。我只是列出一些相鄰立方數之差，盯著它們看，試圖理解為何其中沒有完全立方數。（必須說明，這段故事，是我根據半世紀後僅存的零碎記憶重建出來的，不一定完全可靠。）
某個時刻，我想到再對這個差分數列取一次差分，發現結果形成等差數列。這讓我覺得有所進展，於是繼續研究差分數列，並純粹由實驗發現一條規律：如果從 n 次方開始，不斷取相鄰差分，最後會得到常數數列
不知怎地，我始終沒能把這個觀察變成費馬最後定理的證明。後來，解決它的夢想也被其他數學夢想取代。不過，當我在正式教育中學到差分數列及其對多項式的作用時，我對這些主題的理解，比沒有親自發現並花上許多快樂時光把玩它們時深得多。
我提起這段故事，只是想說明，那封由 25 位菲爾茲獎得主聯署的公開信所強調的現象：無論最後是否解出問題，人都能從思考問題的過程中學到很多。
然而，我最終仍覺得自己不能在那封信上簽名，儘管我同意其中許多內容。就像我面對《萊頓宣言》時所做的那樣，我認為最好以一篇文章完整說明自己的立場。這不代表我自居於某個對立陣營；事實上，我目前的一項憂慮正是數學社群可能因此嚴重分裂，而這是我非常不希望看到的。
我也同意最根本的一點：我們正在面對一場危機。我只是想提出一種略有不同的危機分析。我不敢宣稱這套分析完全原創，因為已有幾位數學家提出與我相近的想法；不過，姑且一提，我大致上是獨立得出這些結論的。
談到獨立性，也許應先澄清：我和 OpenAI 的數學團隊有聯繫，也曾獲得某些模型的提前使用權（通常只比正式發布早幾天），並在 Pro 模型推出後取得免費使用資格，但我從未收過 OpenAI 的錢。我希望——也許有些天真——這能避免本文因人廢言。
另一個可能讓人把我視為「親 AI」的原因，是我曾多次公開提到，自己在劍橋帶領一個自動定理證明團隊。但這其實更可能成為反 AI 的理由：我們一直試圖藉由盡可能理解人類如何證明有趣定理，來解決讓電腦證明有趣定理的問題；如今 LLM 顯然不需要我們得到的那些洞見也能做到，我們工作的主要動機之一便消失了。
換句話說，我們不得不吞下「苦澀的教訓」。我們當然一直知道這種情況可能發生，只是其到來速度仍令我們意外。即使可以把 LLM 當作黑箱使用，我仍認為理解人類如何證明定理，是一項非常有趣且有價值的智識活動；不過那是另一篇文章的題目。
那麼，我為何沒有簽名？先摘錄信中最能表達其主要論點的幾句話：
解決問題只是一項工具，也是達成首要目標——概念理解與洞見——的替代指標。在 AI 的世界裡忘記這一點，可能讓工具反過來傷害首要目標。以愈來愈快的速度大量生產「真／假」命題，可能摧毀孕育新思想的沃土，而不是為其注入生命。
我沒有簽名的主要原因，或許是我並不完全接受這個觀點。我的看法更複雜；事實上，四分之一世紀前，我在〈數學的兩種文化〉一文中已表達過類似立場：數學家對「解題」與「概念理解」之間的關係，有一整條連續光譜。
光譜的一端，是受解題欲望驅動的數學家；對他們來說，概念理解是達成解題目標的重要手段。另一端，則是追求概念理解的數學家；對他們來說，解題是達成理解的重要手段。我擔心這封談「嚴重失準」的信會被理解成：把概念理解置於最高優先才是「正確」態度——上面的句子幾乎就是直接這樣說。
但我認為數學家分布在整條光譜上，而且這一直是好事（至少到目前為止是如此；未來則很不確定）。我不想暗示包括我自己在內的一大群數學家，其數學氣質 somehow 是「錯的」。
我自己的數學態度，非常接近 Jacob Tsimerman 在一則 Twitter 貼文中漂亮表達的立場；他也是未簽署者。現在回頭看，那篇貼文其實已說出本文許多內容。該貼文又是回應 Daniel Litt；在我看來，他是評論數學與 AI 最有智慧的人之一。他後來在這篇文章中表達自己的觀點。我刻意等到本文完成後才讀，結果正如預期，兩者有大量重疊。我也推薦 Noah Smith 的優秀文章〈英雄時代的終結〉。
到目前為止，我談的是個人的數學理解；但我猜，大多數聯署者更在意的，或許是由人類解題活動促成的集體理解。他們或許會非常一致地說：即使集體理解才是主要目標，許多個人主要受解題欲望驅動也完全沒有問題，因為這同樣會對集體理解有所貢獻。
若採取這種詮釋，問題便稍有不同：讓數學社群的集體理解盡可能先進，與盡可能回答更多問題，哪一個更重要？還是兩者以不同方式各有價值，因此不必宣告孰輕孰重？又或者兩者密不可分，根本無法比較？當我們說「重要」時，究竟是對數學家重要，還是對整個社會重要？
這些問題都很困難，所以我不想直接宣布答案。（看出我在玩什麼梗了嗎？）我希望至少為暫時性的結論提出一些論證。以下比較兩種情境。
第一種，也是我認為更可能發生的情況：公開模型在解題能力上超越幾乎所有數學家。即使仍有極少數數學家能做模型做不到的事，他們大量使用模型後，工作速度也會快上許多。因此，我們在短時間內獲得許多長久關心問題的答案，但答案到來的速度，會遠超過數學社群吸收的能力。大多數答案幾乎不需要人類數學家付出努力，只需輸入「謝謝，請繼續」之類的提示。
第二種情境：各國基於其他理由達成國際協議，阻止比現有模型強大許多的模型公開發布；科技公司的數學家也同意暫時不讓內部模型解決重大問題。他們改由數學社群提供指引，只有在某個具代表性的機構判斷：此刻獲得解答的益處，大於讓人類繼續掙扎更長時間的益處時，才要求模型解題。
我想從個人理解和集體理解兩方面，考察這兩種情境的差異。先談個人理解。
有人或許會說，即使大量重大新結果突然湧現，個人理解其實不會改變太多。現有數學早已遠超過任何個人能理解的範圍。即使我曾因費馬最後定理被證明而興奮，也完全沒有嘗試理解其證明。在我理解的數學中，真正由我自己發現的部分也只占極小比例；不過，那通常是我理解最深的部分——至少暫時如此，因為時間一久，我會忘掉許多曾建立的理解。
從建立個人理解的角度看，一項正面變化是：我們會有更多結果可供選擇研究；遇到卡關時，也能請 AI 協助。最可能的負面變化，則是我們或許不再鍛鍊那種花數月或數年與困難研究問題搏鬥時所使用的腦力，而這種鍛鍊對建立理解極有幫助。
我說「很可能」，是因為原則上沒有人阻止我們在不諮詢 LLM 的情況下思考極難問題，但實際上，人們恐怕不會再投入同樣程度的努力。這有點像衛星導航：人們當然可以不用它，以保持讀地圖、記路線和自行導航的能力，但實務上，多數人會屈服於便利。（其實我仍會刻意維持這種能力；最近我只在手機上短暫看過路線，出門時又忘了帶手機，最後仍成功抵達目的地，讓我頗為自豪。）
即使我們只是在閱讀 AI 輸出，我也不認為腦中的解題肌肉會完全萎縮。我常強烈建議學生「主動」而非「被動」閱讀數學論文：先自己嘗試證明結果，真的卡住時才去看論文，只取足以繼續前進的一點提示。這其實是很標準的建議。以這種方式讀論文，就是持續解題；有些只是練習，有些則相當困難。
LLM 很可能可以了解我們的數學背景，並給出恰到好處的提示，使我們能以這種主動方式逐步讀完論文。沒錯，我們會失去親自解決難題所帶來的特殊深度與所有權感，但我不確定數學進展是否會因此受損。我很想聽到針對這一點的反駁：在 AI 遠比人類擅長尋找證明的世界裡，與證明深度纏鬥所形成的理解，究竟還有什麼用途？
那麼，集體理解呢？再引用信中的一段：
以愈來愈快的速度大量生產「真／假」命題，可能摧毀孕育新思想的沃土，而不是為其注入生命。
稍後我會回到妥善引用的問題。先談我認為這裡最核心的憂慮：若結果證明得太快，消化過程是否會變得不可能？我確實擔心結果無法被妥善消化，但理由不同。
第一，AI 產出的不只是「真／假」陳述。我們現在不只知道帶光滑外力的 Navier–Stokes 方程會出現有限時間爆破，還擁有一份建立在人類數學家大量卓越工作之上的證明。過去許多人擔心，AI 會以完全不透明的證明，解決我們最愛的問題；事實並非如此，儘管其寫作方式往往仍大有改善空間。我幾乎可以肯定，這種糟糕的寫作只是暫時的麻煩，而不是數學實踐或未來數學理解的根本威脅。
第二，即使新結果很多，數學仍是一門高度專業化的學科，數學家可以平行工作。假設一年內要消化 1,000 個大致均勻分布在各領域的重要結果，多數子社群可能只需要理解其中約 30 個。每個問題也許只有少數幾位專家最適合帶頭理解，而且不同問題會由不同專家負責。任務固然龐大，卻未必不可能。
同時也應想想人類數學家本來就有龐大而且近年持續增加的產出。雖然偶爾有人抱怨，卻幾乎沒有人建議人類數學家應放慢證明有趣定理的速度。或許這部分是因為作者會努力寫好論文、做好演講；但那些寫得不好、演講也令人難懂的重要論文又如何？這固然惱人，卻是熟悉的麻煩，而不是我們眼中的危機。
第三，即使 AI 產出多到無法全部妥善消化，也不一定是壞事。打個不完美的比方：串流平台上的內容多到沒有人看得完，因此幾乎肯定有優秀作品乏人問津。但這不顯然比內容少得多、每部作品都得到應有注意更糟。回到數學，如果 AI 生成的內容多到消化不完，我們可以選擇想消化的部分。
為此，我們需要大致知道有哪些成果存在——就像人類數學家通常知道自己領域有哪些結果，即使並不了解所有證明細節。可以在 AI 協助下建立設計良好的資料庫；也許甚至不必如此，只要與 LLM 對話，請它從鳥瞰角度介紹某個數學領域即可。
真正的恐懼似乎是：AI 發現了非常有趣而重要的數學，卻被人忽略；若由人類發現，可能就不會如此。但應比較的是：AI 發現且未被忽略的重要數學，是否會多於 AI 僅扮演較小角色時，人類能發現並妥善消化的重要數學。
簡言之，重大 AI 成果的洪流，固然可能增加「未被妥善消化」的重要數學，也很可能增加「得到妥善消化」的重要數學；我認為這是一筆相當划算的交換。
接著簡談 AI 未妥善註明人類數學家貢獻的問題。我同意這目前很嚴重，但也認為它是暫時的。很快，整套「功勞制度」必然會崩解，因為找到驚人證明將不再比公民科學家用望遠鏡偶然發現新彗星更能代表智識成就。
在那之前，仍必須給人類應得的功勞，因為職涯可能取決於此；但這種情況不久也會消失。我其實很困惑為何這仍是問題：若要求 LLM 檢查一份證明，指出其中哪些想法接近既有文獻，它理應非常擅長。我希望答案不是有人太急著發布，根本沒費心做這件事；但恐怕至少在某些案例中確實如此。
若真如此，粗心者理應受到批評；但和數學能否存續相比，這只是次要問題，尤其是缺漏引用能迅速補正的情況下。
這是否表示我樂觀地相信，到了後 AI 世界，數學家消化的數學量，至少不會比「AI 無法證明重大定理」的世界少？也不完全是。我的擔憂不是我們沒有能力消化，而是目前支撐消化過程的社會結構會被摧毀，卻沒有得到適當替代。
一種可能是，AI 對社會造成巨大破壞，甚至殺害大量人口，使維持現有數學傳統不再是重要議題；屆時，人類存續才是唯一要緊的事。不過這也是另一篇文章的題目——我其實正在寫。
先假設我們夠幸運，AI 大致仍受控制。我的擔憂便是：我們無法把已知知識傳給新一代數學家。就我而言，成為數學家的主要動機，是夢想解開尚未解決的問題——愈有名愈好。我也一直更喜歡直接思考問題，而不是讀書、讀論文或學習別人的數學。（這不是說此偏好很好，只是在陳述事實。）
如果「解開著名問題」的夢想不存在，我不確定自己是否仍會成為數學家。也不能完全排除：真正驅動我的，也許是我擅長這門學科，而解題能讓我在一小群同儕中獲得尊重。或許我可以用另一種方式贏得尊重，例如深入思考一個領域，直到能向別人展現自己的理解有多深。但我不確定那是否同樣能激勵我。
我非常希望仍有一群年輕人會受到這種方式強烈驅動，因為人類數學傳統能否存續，可能就取決於他們。
因此，在我看來，首要風險是：許多原本會攻讀數學博士、日後成為數學傳統守護者的人，將不再想走這條路。像我這樣指導博士生的人，必須盡力想出富創意的方法，讓學生能有意義地運用時間——當然要與學生共同討論。我們能否做好，可能大幅影響數學的未來。
相關風險是，政策制定者可能認為數學家已不再必要，使研究經費更難取得。我們迫切需要清楚說明：即使尋找新定理證明，不再是數學家的角色，維持一大群人類數學專家仍有何價值。
我沒有簽名的最後一個原因，是我不太確定那封信究竟要求什麼尚未發生的改變。看來不到幾個月，LLM 就可能有能力解決重大數學問題，對一般問題更是不在話下。無論我們多麼遺憾，這些模型對數學的衝擊都不會說服 AI 公司停止發布；但安全憂慮或許能稍微延後，讓我們多一點時間調適。
一旦模型公開，不管喜不喜歡，新成果都會大量湧現，而且屆時生產者將不再只是 AI 公司；不過，AI 公司仍可能因擁有更強的內部模型，而取得超出公平份額的頭條成果。因此，我覺得批評 AI 公司過快、過多地產生解答並無實益。
事實上，這或許只是把本來必然會發生的事提前幾個月；甚至可能使成果以較受控的方式發布，而不是等模型公開後由隨機使用者各自發現。面對這種情況，我們能做的最好選擇，是承認變化即將到來，並努力找出不那麼糟的應對方式。
本文於 2026 年 9 月 17 日上午 7:55 發布，分類為 AI 與數學。
Hacker News 網友討論整理
該討論串在整理時約有 300 多則留言，焦點大致可分為以下幾類：[1]
1. 數學是否仍值得公共資助
- 支持持續資助：不少人認為數學本身能鍛鍊思考、帶來樂趣，且純理論的實際價值往往要數十年甚至數百年後才顯現。微積分、無線電波等例子被用來說明：無法用短期 KPI 預測哪項「無用的好奇心」日後會改變世界。
- 質疑者：也有人指出這類歷史案例帶有倖存者偏誤；資源有限，不可能資助所有方向。若 AI 能以更低成本、更快產生結果，社會為何仍應用同樣方式資助大量純數學職位？
- 真正的制度難題：即使承認人類理解很有價值，博士後、教職與研究經費要如何競爭與分配，仍缺乏具體答案。
2. 評價數學家的標準必須改變
過去可用「證明了多少定理、解決了哪些問題」衡量研究者；當 AI 能大量產生證明後，這些指標可能失效。留言提出的替代方向包括：離線考試、公開講授、由學生與專家評審是否真正理解，以及評估研究者能否整理、解釋、驗證並傳承成果。
3. 人類角色可能從「證明」轉向「選題、消化與形式化」
一派認為，數學家不會失去工作，而會更像科學家：把重心移到提出新穎且重要的問題、判斷哪些方向值得研究、建立概念圖景，並把 AI 產出的證明整理成可讀、可教、可重用的知識。
有人特別提到 Mathlib、Isabelle/HOL 等形式化系統：將結果整合進可靠的數學函式庫，可能成為類似維護 Linux 核心的長期工程；過程中仍需真正理解推理的人類，避免 AI 只是利用形式系統漏洞。
4. 最大風險也許不是錯誤，而是「習得性無助」
部分留言把 LLM 比作 GPS：用來提升效率很合理，但若把理解、教學和證明全部外包，人類可能逐漸失去沒有工具時獨立工作的能力。這一派認為問題不只是「要不要付錢讓人理解」，而是社會是否要保留自主生產數學知識的能力與韌性。
5. AI 證明目前仍需要大量人工判讀
有實務經驗的留言者指出，模型偶爾能在提供完整脈絡、相關論文、證明策略與引理結構後產生有用成果，但輸出也可能充滿不存在的術語、牽強類比、難以閱讀的敘述，或只附上一段同樣難懂的 Lean 證明。能形式驗證不等於已對數學做出可理解、可傳承的貢獻。
6. 「提出好問題」可能比「找到證明」更關鍵
多位網友強調，AI 解決開放問題，不等於它能產生真正新穎且有趣的問題。純數學的選題通常是社群互動、審美、品味與長期鑽研摩擦的產物；而 AI 正在移除的，可能恰好就是孕育這些判斷的「有用摩擦」。
7. 較樂觀的看法：人機協作會釋放新的研究空間
樂觀者認為，AI 可以消除繁瑣推導和技術細節的瓶頸，使研究者更快探索多條路徑、尋找應用、檢查猜想，並把精力放在科學理解和重要性判斷上。就像搜尋引擎沒有終結討論，而是改變了討論的品質控制方式，數學也可能發展出新的協作規範、引用制度與成果篩選機制。
綜合觀察
討論中的核心分歧，不是單純的「AI 支持者 vs. 反對者」，而是三個尚未解決的制度問題：
- 當證明變得廉價時，什麼才算數學貢獻？
- 如何證明人類數學專家與研究社群仍值得長期投入？
- 如何在利用 AI 加速進展的同時，保留產生好問題、深度理解與跨世代傳承的能力？
多數留言似乎同意：AI 會改變數學研究；真正缺少的不是立場宣言，而是新的評價、資助、教育與知識治理機制。[1]